反比例函数知识点汇总

反比例函数知识点汇总

定义

反比例函数是指变量 x 和 y 成反比，即当 x 增加时，y 减小；当 x 减小时，y 增加。反比例函数的表达式为：

$$y = \frac{k}{x}$$

其中，k 为常数。

性质

1. 反比例函数的图像在笛卡尔坐标系中是经过原点的双曲线。
2. 反比例函数的图像关于原点对称，即如果 (x, y) 是反比例函数图像上的一点，那么 (-x, -y) 也是反比例函数图像上的一点。
3. 反比例函数的图像没有极值点，也没有对称轴。
4. 反比例函数的图像上的任何两点与原点的连线都平行。

应用

反比例函数在现实生活中有很多应用，例如：

• 距离和时间的关系：当物体以恒定的速度运动时，其距离和时间成反比。
• 工作和时间的关系：当多个工人以相同的效率工作时，完成相同的工作所需的时间和工人数成反比。
• 价格和数量的关系：当商品的价格不变时，购买相同商品所需的数量和价格成反比。

例题

1. 某工厂生产某种产品，当每天生产 100 件产品时，需要 10 个小时；当每天生产 200 件产品时，需要 5 个小时。求反比例函数的表达式。

解： 设反比例函数的表达式为：

$$y = \frac{k}{x}$$

其中，k 为常数。

将每天生产 100 件产品时的情况代入反比例函数的表达式：

$$100 = \frac{k}{10}$$

$$k = 1000$$

将每天生产 200 件产品时的情况代入反比例函数的表达式：

$$200 = \frac{k}{5}$$

$$k = 1000$$

因此，反比例函数的表达式为：

$$y = \frac{1000}{x}$$

2. 某商店出售一种商品，当价格为 10 元时，每天售出 100 件；当价格为 20 元时，每天售出 50 件。求反比例函数的表达式。

解： 设反比例函数的表达式为：

$$y = \frac{k}{x}$$

其中，k 为常数。

将价格为 10 元时的情况代入反比例函数的表达式：

$$100 = \frac{k}{10}$$

$$k = 1000$$

将价格为 20 元时的情况代入反比例函数的表达式：

$$50 = \frac{k}{20}$$

$$k = 1000$$

因此，反比例函数的表达式为：

$$y = \frac{1000}{x}$$