arcsin导数公式

arcsin导数公式

arcsin x 的导数为：

\frac{d}{dx}arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

证明

令 y = arcsin x。那么 sin y = x。对两边求导，得到：

\frac{dy}{dx}cos y = 1

两边同时除以 cos y，得到：

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos y}

由于 sin^2 y + cos^2 y = 1，可以得到：

cos y = \pm\sqrt{1 - sin^2 y}

由于 y 在区间 [-π/2, π/2] 内，cos y > 0。因此，

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - sin^2 y}}

由于 sin y = x，因此，

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

应用

arcsin 导数公式在微积分中有很多应用，例如：

• 计算不定积分
• 计算定积分
• 求解微分方程
• 求解反三角函数的导数

练习题

1. 求解不定积分 ∫ (1 / sqrt(1 - x^2)) dx。
2. 求解反三角函数 arctan x 的导数。
3. 求解微分方程 y' = x / sqrt(1 - x^2)